公务员考试中,可以通过分析不同问题之间的类似加深我们对问题的理解。下文,王老师通过两个简单的例子来看植树问题与等差数列之间的联系。
【例1】一排树长24米,每两棵树之间间隔3米。请问一共多少棵树?
【解析】数字比较小,画个图数一数就可以知道是9棵。
【总结】类似的问题即为沿“线”种树问题,相关知识点为:
(1)棵数=总长÷间距+1。之所以要加1关键在于n棵树之间有n+1个间隔。
(2)这里的“线”是任意的直线、折线、曲线,只要它不自相交。
【例2】公差为3的整数等差数列为{an},该数列首项为0,尾项为24。请问一共多少项?
【解析】和例1类比,我们发现我们只需要在例1的每棵树所在的地方标上坐标:
即变为了本题所述。所以一共是9项。
【总结】类似的问题即为等差数列的项数问题,相关知识点为:
(2)通过分析以上两个简单的例子,我们发现这两个例子非常像。实际上,我们可以把相关的公式写成一样的形式,即等差数列的项数公式:
这里总差=尾项-首项。所以说,本质上,沿线植树的棵数问题和等差数列的项数问题是一个问题。
沿“线”植树问题还有一个重要的知识点:任意两树之间距离一定是间距的整数倍。一定程度上可以理解为间距一定是任意两树之间距离的约数。事实上后面这句话在公务员考试中更好用。
于是最大公约数为5×13=65,所以棵树=总长÷间距+1=(715+520)/65+1=20。但是,我们根本不需要这样算。事实上,短除法中,我们已经用715,520除以了65,得到了11,8。所以我们算完短除法后可以直接用11+8+1=20算出最后的结果。即选择C。
类似的,我们可以这样问。
【例4】a>b>c为等差数列中的三项,满足a-b=715,b-c=520。请问该数列最少多少项?
A.18 B.19 C.20 D.21
【解析】同例3,选C。