全国2010年1月自学考试线性代数(经管类)试题

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全国2010年1月自学考试线性代数(经管类)试题

全国2010年1月高等教育自学考试

 

线性代数(经管类)试题

 

课程代码:04184

 

说明:本卷中,AT表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩.

 

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 

1.设行列式(      )

A. B.1

C.2 D.

2.设A,B,C为同阶可逆方阵,则(ABC)-1=(      )

A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1

C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1

3.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=(α1,α2,α3,α4).如果|A|=2,则|-2A|=(      )

A.-32 B.-4

C.4 D.32

4.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则(      )

A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出

C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关

5.向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为(      )

A.1 B.2

C.3 D.4

6.设A是4×6矩阵,r(A)=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是(      )

A.1 B.2

C.3 D.4

7.设A是m×n矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是(      )

A.m≥n B.Ax=b(其中b是m维实向量)必有唯一解

C.r(A)=m D.Ax=0存在基础解系

8.设矩阵A=,则以下向量中是A的特征向量的是(      )

A.(1,1,1)T B.(1,1,3)T

C.(1,1,0)T D.(1,0,-3)T

9.设矩阵A=的三个特征值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3 = (      )

A.4 B.5

C.6 D.7

10.三元二次型f (x1,x2,x3)=的矩阵为(      )

A. B.

C. D.

 

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二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式=_________.

12.设A=,则A-1=_________.

13.设方阵A满足A3-2A+E=0,则(A2-2E)-1=_________.

14.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A(5α2-4α1)=_________.

16.设A是m×n实矩阵,若r(ATA)=5,则r(A)=_________.

17.设线性方程组有无穷多个解,则a=_________.

18.设n阶矩阵A有一个特征值3,则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=(1,2,-2),β=(2,a,3),且α与β正交,则a=_________.

20.二次型的秩为_________.

 

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.计算4阶行列式D=.

22.设A=,判断A是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A-1.

23.设向量α=(3,2),求(αTα)101.

24.设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).

(1)求该向量组的一个极大线性无关组;

(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

25.求齐次线性方程组的基础解系及其通解.

26.设矩阵A=,求可逆方阵P,使P-1AP为对角矩阵.

 

四、证明题(本大题6分)

27.已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,证明:α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1线性无关.

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